线性代数前四章期中复习笔记#

目录#

第 1 章线性方程组
第 2 章矩阵
第 3 章行列式及其应用
第 4 章向量空间、秩与线性方程组解的结构
期中常用判别表
高频题型步骤

符号约定#

$A=[a_{ij}]_{m\times n}$ ： $m$ 行 $n$ 列矩阵。
$E$ 或 $I$ ：单位矩阵，阶数由上下文确定。
$0$ ：零矩阵或零向量，维数由上下文确定。
$A^T$ ：矩阵 $A$ 的转置。
$A^{-1}$ ：矩阵 $A$ 的逆矩阵。
$|A|$ 或 $\det A$ ：方阵 $A$ 的行列式。
$\operatorname{rank}A$ 或 $r(A)$ ：矩阵 $A$ 的秩。
$[A\mid b]$ ：线性方程组 $Ax=b$ 的增广矩阵。
$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ ：向量组。
$\operatorname{span}(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$ ：由向量组张成的集合。

第 1 章线性方程组#

1.1 线性方程组的基本概念#

一般的 $m$ 个方程、 $n$ 个未知量的线性方程组为

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m. \end{cases}

关键概念：

系数： $a_{ij}$ 。
常数项： $b_i$ 。
齐次线性方程组：所有 $b_i=0$ ，即 $Ax=0$ 。
非齐次线性方程组：至少一个 $b_i\ne 0$ ，即 $Ax=b$ 。
解：使每个方程都成立的有序数组或向量。
解集：所有解构成的集合。

线性方程组的三个核心问题：

是否有解：解的存在性。
若有解，是否唯一：解的唯一性。
若不唯一，如何表示全部解：解的结构。

1.2 方程组的初等变换#

以下三种变换不改变方程组的解集，称为同解变换：

交换两个方程。
某个方程两边同乘一个非零数。
某个方程加上另一个方程的若干倍。

解线性方程组的基本思想是用初等变换把方程组化成阶梯形，再回代求解。

1.3 矩阵与增广矩阵#

对方程组 $Ax=b$ ：

A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix},\quad x= \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},\quad b= \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}.

$A$ 是系数矩阵。
$[A\mid b]$ 是增广矩阵。
对增广矩阵做初等行变换，对应于对原方程组做同解变换。

1.4 矩阵的初等行变换#

三类初等行变换：

$r_i\leftrightarrow r_j$ ：交换第 $i$ 行和第 $j$ 行。
$k r_i$ ：第 $i$ 行乘非零数 $k$ 。
$r_i+k r_j$ ：第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行。

对应的初等列变换把 $r$ 换成 $c$ 即可。

初等行变换只影响行，常用于：

解线性方程组。
化阶梯形矩阵、最简阶梯形矩阵。
求逆矩阵。
求秩。
判断向量组线性相关性。

1.5 行阶梯形与行最简阶梯形#

行阶梯形矩阵的特点：

零行在非零行下面。
每个非零行的第一个非零元素所在列，随行号增加严格右移。
主元下方元素为零。

行最简阶梯形矩阵还要求：

每个非零行的第一个非零元素是 $1$ 。
每个主元 $1$ 所在列，其他元素全为 $0$ 。

重要结论：

任意非零矩阵都能经有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵。
任意非零矩阵都能经有限次初等行变换化为行最简阶梯形矩阵。

1.6 行等价与矩阵等价#

若 $A$ 经过有限次初等行变换变为 $B$ ，称 $A$ 与 $B$ 行等价。
若 $A$ 经过有限次初等变换，包括行变换和列变换，变为 $B$ ，称 $A$ 与 $B$ 等价。

行等价满足：

自反性： $A$ 与 $A$ 行等价。
对称性：若 $A$ 与 $B$ 行等价，则 $B$ 与 $A$ 行等价。
传递性：若 $A$ 与 $B$ 行等价， $B$ 与 $C$ 行等价，则 $A$ 与 $C$ 行等价。

矩阵的等价标准形：

\begin{bmatrix} E_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

其中 $r$ 是矩阵阶梯形中非零行的个数，后面第 4 章会解释为矩阵的秩。

1.7 线性方程组解的判别#

把增广矩阵 $[A\mid b]$ 化为阶梯形。

若出现

[0\ 0\ \cdots\ 0\mid c],\quad c\ne 0,

则方程组无解。

若没有矛盾行：

没有自由未知量：唯一解。
至少一个自由未知量：无穷多解。

齐次线性方程组 $Ax=0$ ：

一定有零解。
若有自由未知量，则有非零解。
若未知量个数 $n$ 大于方程个数 $m$ ，则一定有非零解。

1.8 解线性方程组的标准步骤#

写出增广矩阵 $[A\mid b]$ 。
用初等行变换化为阶梯形或最简阶梯形。
检查是否有矛盾行。
找主元变量与自由变量。
若无自由变量，直接回代得唯一解。
若有自由变量，令自由变量为参数，写出通解。

第 2 章矩阵#

2.1 矩阵的定义与特殊矩阵#

$m\times n$ 矩阵是一个 $m$ 行 $n$ 列数表：

A=[a_{ij}]_{m\times n}.

常见矩阵：

行矩阵：只有一行。
列矩阵：只有一列。
方阵：行数等于列数。
零矩阵：所有元素全为 $0$ 。
对角矩阵：非主对角线元素全为 $0$ 。
单位矩阵：主对角线元素全为 $1$ 的对角矩阵。
对称矩阵： $A^T=A$ 。

矩阵相等：

A=B \Longleftrightarrow A,B\text{ 同型且 }a_{ij}=b_{ij}.

2.2 矩阵加法、减法与数乘#

同型矩阵才能相加减：

A+B=[a_{ij}+b_{ij}],\quad A-B=[a_{ij}-b_{ij}].

数乘：

kA=[ka_{ij}].

基本运算法则：

$A+B=B+A$ 。
$(A+B)+C=A+(B+C)$ 。
$A+0=A$ 。
$A+(-A)=0$ 。
$k(A+B)=kA+kB$ 。
$(k+\ell)A=kA+\ell A$ 。
$k(\ell A)=(k\ell)A$ 。
$1A=A$ 。

2.3 矩阵乘法#

若 $A$ 为 $m\times p$ 矩阵， $B$ 为 $p\times n$ 矩阵，则 $AB$ 有定义，且为 $m\times n$ 矩阵：

AB=C=[c_{ij}]_{m\times n},\quad c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}.

理解方式：

$c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应相乘再相加。
$Ax$ 是 $A$ 的列向量按 $x$ 的分量作线性组合。
$AB$ 的第 $j$ 列是 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列。

乘法运算法则：

$A(B+C)=AB+AC$ 。
$(A+B)C=AC+BC$ 。
$(AB)C=A(BC)$ 。
$k(AB)=(kA)B=A(kB)$ 。
$AE=EA=A$ ，阶数需匹配。

矩阵乘法注意点：

一般 $AB\ne BA$ 。
$AB$ 有定义，不代表 $BA$ 有定义。
$AB=0$ 不一定推出 $A=0$ 或 $B=0$ 。
$AB=AC$ 不一定推出 $B=C$ ，除非 $A$ 有合适的可逆性。

2.4 方阵的幂与矩阵多项式#

若 $A$ 是 $n$ 阶方阵：

A^1=A,\quad A^2=AA,\quad A^{k+1}=A^kA,\quad A^0=E.

幂运算法则：

A^kA^\ell=A^{k+\ell},\quad (A^k)^\ell=A^{k\ell}.

矩阵多项式：

若

f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m,

则

f(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m.

注意：矩阵表达式中常数项要写成常数乘单位矩阵，例如 $3$ 应写为 $3E$ 。

2.5 转置矩阵#

定义：

A=[a_{ij}]_{m\times n},\quad A^T=[a_{ji}]_{n\times m}.

转置运算法则：

(A^T)^T=A,

(kA)^T=kA^T,

(A+B)^T=A^T+B^T,

(AB)^T=B^TA^T.

多个矩阵乘积转置时，顺序全部反过来：

(A_1A_2\cdots A_s)^T=A_s^T\cdots A_2^TA_1^T.

2.6 对称矩阵#

定义：

A^T=A.

性质：

对称矩阵一定是方阵。
若 $A,B$ 是同阶对称矩阵，则 $A+B,A-B,kA$ 仍是对称矩阵。
$A^TA$ 和 $AA^T$ 都是对称矩阵。
若 $A,B$ 是同阶对称矩阵，则 $AB$ 对称的充要条件是 $AB=BA$ 。

常见误区：两个对称矩阵的乘积不一定对称。

2.7 可逆矩阵#

定义：

若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，存在 $n$ 阶方阵 $B$ ，使

AB=BA=E,

则称 $A$ 可逆， $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$ 。

逆矩阵唯一。

常见例子：

E^{-1}=E.

若

A=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\ldots,a_n),\quad a_i\ne 0,

则

A^{-1}=\operatorname{diag}\left(\frac1{a_1},\frac1{a_2},\ldots,\frac1{a_n}\right).

二阶矩阵：

A= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}.

若 $ad-bc\ne0$ ，则

A^{-1}=\frac1{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}.

2.8 可逆矩阵的性质#

若 $A,B$ 同阶且可逆， $k\ne0$ ：

(A^{-1})^{-1}=A,

(kA)^{-1}=\frac1k A^{-1},

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},

(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.

多个可逆矩阵相乘：

(A_1A_2\cdots A_s)^{-1}=A_s^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1}.

注意：

$A,B$ 可逆，不一定 $A+B$ 可逆。
即使 $A+B$ 可逆，一般也没有 $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ 。

2.9 可逆矩阵与线性方程组#

若 $A$ 可逆，则矩阵方程

AX=B

有唯一解：

X=A^{-1}B.

特别地，线性方程组 $Ax=b$ 有唯一解：

x=A^{-1}b.

但实际计算高阶方程组时，通常用初等行变换比直接求逆更方便。

2.10 初等矩阵#

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵。

三类初等矩阵对应三类初等变换：

交换两行。
某行乘非零常数。
某行加另一行的若干倍。

重要事实：

初等矩阵都可逆。
初等矩阵的逆仍是同类型初等矩阵。
对矩阵 $A$ 做一次初等行变换，等价于用相应初等矩阵左乘 $A$ 。
对矩阵 $A$ 做一次初等列变换，等价于用相应初等矩阵右乘 $A$ 。

2.11 用初等行变换求逆矩阵#

定理：

A\text{ 可逆}\Longleftrightarrow A\text{ 行等价于 }E.

求逆步骤：

构造增广矩阵 $[A\mid E]$ 。
对它做初等行变换。
若能化为 $[E\mid B]$ ，则 $B=A^{-1}$ 。
若左边不能化为 $E$ ，则 $A$ 不可逆。

即

[A\mid E]\longrightarrow [E\mid A^{-1}].

2.12 可逆性的常用等价条件#

对 $n$ 阶方阵 $A$ ，以下命题等价：

$A$ 可逆。
$A$ 行等价于 $E$ 。
$A$ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
齐次方程组 $Ax=0$ 只有零解。
对任意 $b$ ， $Ax=b$ 有唯一解。
存在方阵 $B$ 使 $BA=E$ 。
存在方阵 $B$ 使 $AB=E$ 。

第 3 章补充：

$|A|\ne0$ 。

第 4 章补充：

$\operatorname{rank}A=n$ 。
$A$ 的列向量组线性无关。
$A$ 的行向量组线性无关。

2.13 行等价与可逆矩阵#

若 $A,B$ 均为 $m\times n$ 矩阵：

A\text{ 与 }B\text{ 行等价} \Longleftrightarrow \exists m\text{ 阶可逆矩阵 }P,\ PA=B.

若 $A,B$ 等价：

A\text{ 与 }B\text{ 等价} \Longleftrightarrow \exists P,Q\text{ 可逆},\ PAQ=B.

2.14 分块矩阵#

把大矩阵用横线、竖线分成若干子块，得到分块矩阵。

分块运算原则：

分块后仍按矩阵运算法则运算。
分块加法要求对应子块同型。
分块乘法要求对应子块可乘。
分块转置时，不仅整体块位置转置，每个子块也要转置。

常用分块乘法：

若 $B=[\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_s]$ 按列分块，则

AB=[A\beta_1,A\beta_2,\ldots,A\beta_s].

若 $A$ 按行分块，则 $AB$ 的每个块行由对应块行乘 $B$ 得到。

2.15 分块对角矩阵#

设

A=\operatorname{diag}(A_1,A_2,\ldots,A_s).

若每个 $A_i$ 都是方阵，则 $A$ 为分块对角矩阵。

性质：

\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_s) + \operatorname{diag}(B_1,\ldots,B_s) = \operatorname{diag}(A_1+B_1,\ldots,A_s+B_s),

\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_s) \operatorname{diag}(B_1,\ldots,B_s) = \operatorname{diag}(A_1B_1,\ldots,A_sB_s)

其中乘法要求对应子块可乘。

若每个 $A_i$ 可逆，则

A^{-1}=\operatorname{diag}(A_1^{-1},A_2^{-1},\ldots,A_s^{-1}).

常见分块逆公式：

若 $A,B$ 可逆，则

\begin{bmatrix} A&C\\ 0&B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\ 0&B^{-1} \end{bmatrix}.

类似地，

\begin{bmatrix} A&0\\ C&B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1}&0\\ -B^{-1}CA^{-1}&B^{-1} \end{bmatrix}.

第 3 章行列式及其应用#

3.1 行列式的定义#

行列式只对方阵定义。

二阶行列式：

\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} =ad-bc.

对 $n$ 阶行列式，元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ ：划去第 $i$ 行、第 $j$ 列后剩下的 $n-1$ 阶行列式。

代数余子式：

A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.

递归定义：

|A|=\sum_{j=1}^n a_{1j}A_{1j}.

这叫按第一行展开。

三阶行列式可以用对角线法则记忆，但高阶行列式不能直接套三阶法则。

3.2 行列式展开定理#

行列式可按任意一行或任意一列展开：

按第 $i$ 行：

|A|=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}.

按第 $j$ 列：

|A|=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}.

交叉展开结论：

某一行元素与另一行对应代数余子式乘积之和为 $0$ ；某一列元素与另一列对应代数余子式乘积之和也为 $0$ 。

3.3 行列式的基本性质#

行列式性质行列完全对称，下面说“行”时，“列”也成立。

零行性质：

若有一行全为 $0$ ，则行列式为 $0$ 。

线性性质：

行列式对某一行具有线性性。
某一行所有元素有公因子 $k$ ，可把 $k$ 提到行列式外。

交换性质：

交换两行，行列式变号。

倍加性质：

某一行加另一行的若干倍，行列式不变。

相同或成比例：

两行相同，行列式为 $0$ 。
两行成比例，行列式为 $0$ 。

整体数乘：

|kA|=k^n|A|

其中 $A$ 是 $n$ 阶方阵。

转置：

|A^T|=|A|.

三角形：

上三角或下三角行列式等于主对角线元素乘积：

|A|=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.

3.4 行列式的计算方法#

常用方法一：按行列展开。

适合某行或某列零较多的情况。

常用方法二：化三角形。

用行列式性质把行列式化为上三角或下三角，再乘主对角线。

操作影响要记清：

$r_i\leftrightarrow r_j$ ：行列式变号。
$r_i+k r_j$ ：行列式不变。
$k r_i$ ：行列式乘 $k$ 。
提取某行公因子：行列式外多一个公因子。

常用方法三：造零。

用倍加变换让某一行或某一列出现尽量多的零，再展开。

常用方法四：利用特殊结构。

三角形行列式。
分块三角行列式。
范德蒙德行列式。
递推型行列式。

范德蒙德行列式：

\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).

3.5 乘积行列式与分块行列式#

乘积定理：

|AB|=|A||B|

其中 $A,B$ 为同阶方阵。

推论：

|A^k|=|A|^k.

若 $A$ 可逆：

|A^{-1}|=\frac1{|A|}.

分块三角矩阵：

若 $A,B$ 是方阵，则

\left| \begin{array}{cc} A&C\\ 0&B \end{array} \right| =|A||B|,

\left| \begin{array}{cc} A&0\\ C&B \end{array} \right| =|A||B|.

注意：普通分块矩阵

\begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix}

一般不能直接写成 $|A||D|-|B||C|$ 。

3.6 伴随矩阵#

设 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ， $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式。

伴随矩阵定义为

A^*= \begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{bmatrix}.

也就是代数余子式矩阵的转置。

核心公式：

AA^*=A^*A=|A|E.

3.7 用行列式判断可逆#

定理：

A\text{ 可逆}\Longleftrightarrow |A|\ne0.

若 $A$ 可逆，则

A^{-1}=\frac1{|A|}A^*.

该公式适合低阶矩阵，尤其是二阶、三阶。高阶矩阵通常用初等行变换求逆更方便。

推论：

AB\text{ 可逆}\Longleftrightarrow A,B\text{ 均可逆}.

3.8 克拉默法则#

设 $n$ 元 $n$ 个方程的线性方程组为

Ax=b.

若

D=|A|\ne0,

则方程组有唯一解：

x_j=\frac{D_j}{D},\quad j=1,2,\ldots,n.

其中 $D_j$ 是把系数行列式 $D$ 的第 $j$ 列替换为常数列 $b$ 得到的行列式。

齐次情形：

若 $Ax=0$ 且 $|A|\ne0$ ，则只有零解。

若 $Ax=0$ 有非零解，则必有 $|A|=0$ 。

对 $n$ 元 $n$ 方程齐次组，实际上

Ax=0\text{ 有非零解}\Longleftrightarrow |A|=0.

克拉默法则的定位：

理论意义强，能说明解与系数之间的关系。
数值计算量大，一般实际解方程还是用初等行变换。

第 4 章向量空间、秩与解的结构#

4.1 向量的定义#

$n$ 维向量是由 $n$ 个数组成的有序数组：

\alpha=(a_1,a_2,\ldots,a_n).

列向量形式：

\alpha= \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{bmatrix}.

行向量形式：

\alpha^T=[a_1,a_2,\ldots,a_n].

本教材主要把向量看作列向量。 $n$ 维实列向量全体记为 $\mathbb R^n$ 。

向量的线性运算：

\alpha+\beta,\quad k\alpha.

标准坐标向量：

e_1= \begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\quad e_2= \begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\quad \ldots,\quad e_n= \begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}.

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵：

$Ae_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 列。
$e_i^TA$ 是 $A$ 的第 $i$ 行。
$e_i^TAe_j=a_{ij}$ 。

4.2 向量组与线性组合#

若干同维向量组成的集合称为向量组：

\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s.

线性组合：

k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s.

若存在数 $k_1,\ldots,k_s$ ，使

\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s,

则称 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性表示。

向量组张成：

\operatorname{span}(\alpha_1,\ldots,\alpha_s) = \{k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s\mid k_i\in\mathbb R\}.

4.3 线性表示与线性方程组#

设

A=[\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n].

则

Ax=b

等价于

x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=b.

所以：

b\text{ 可由 }A\text{ 的列向量组线性表示} \Longleftrightarrow Ax=b\text{ 有解}.

若矩阵 $B$ 的列向量组可由矩阵 $A$ 的列向量组线性表示，则存在矩阵 $C$ ，使

B=AC.

若矩阵 $B$ 的行向量组可由矩阵 $A$ 的行向量组线性表示，则存在矩阵 $X$ ，使

XA=B.

4.4 向量组等价#

若向量组 $\beta_1,\ldots,\beta_t$ 中每个向量都可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性表示，则称 $\beta$ 组可由 $\alpha$ 组线性表示。

若两个向量组可以互相线性表示，则称它们等价。

重要结论：

行等价矩阵的行向量组等价。
等价向量组张成同一个空间。
等价向量组的秩相同。

4.5 线性相关与线性无关#

定义：

向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性相关，如果存在不全为 $0$ 的数 $k_1,\ldots,k_s$ ，使

k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0.

向量组线性无关，如果上式只有零解：

k_1=k_2=\cdots=k_s=0.

判断方法：

令

A=[\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s].

则

\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性无关} \Longleftrightarrow Ax=0\text{ 只有零解}.

若 $Ax=0$ 有非零解，则向量组线性相关。

4.6 线性相关的常用判别#

基本事实：

含零向量的向量组一定线性相关。
单个非零向量组成的向量组线性无关。
两个向量线性相关的充要条件是它们对应分量成比例。
若一个向量组的某个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。
若整个向量组线性无关，则任意部分组线性无关。
$n$ 维空间中，超过 $n$ 个向量必线性相关。
若短向量组线性无关，则把每个向量增加相同数量的分量后得到的长向量组仍线性无关。
若长向量组线性相关，则删去相同位置的分量后得到的短向量组也线性相关。

对 $n$ 阶方阵 $A=[\alpha_1,\ldots,\alpha_n]$ ：

A\text{ 可逆} \Longleftrightarrow \alpha_1,\ldots,\alpha_n\text{ 线性无关}.

同样也等价于 $A$ 的行向量组线性无关。

4.7 唯一表示定理#

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性无关，且加入 $\beta$ 后

\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta

线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 唯一线性表示。

重要推论：

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 是 $\mathbb R^n$ 中 $n$ 个线性无关向量，则 $\mathbb R^n$ 中任意向量都可由它们唯一线性表示。

这正是“基”的思想。

4.8 极大无关组与向量组的秩#

定义：

设 $V$ 是一个向量组。若其中有 $r$ 个向量

\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}

满足：

它们线性无关。
$V$ 中任意向量都可由它们线性表示。

则称它们是 $V$ 的一个极大无关组。

极大无关组所含向量个数称为向量组的秩。

约定：

只含零向量的向量组秩为 $0$ 。
极大无关组不一定唯一。
任意两个极大无关组所含向量个数相同，因此秩是唯一的。

判别：

\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性无关} \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=s.

\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性相关} \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)<s.

4.9 求向量组秩与极大无关组#

设向量组为列向量：

\alpha_1,\ldots,\alpha_s.

步骤：

构造矩阵
$A=[\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s].$
对 $A$ 做初等行变换，化为行最简阶梯形矩阵。
主元列对应的原向量组成一个极大无关组。
主元列个数就是向量组的秩。
非主元列可按最简阶梯形中同样的线性关系，用主元列表示。

关键定理：

行等价矩阵的列向量组有相同的线性关系。也就是说，行变换不改变列向量之间的线性相关关系。

4.10 Steinitz 定理及推论#

Steinitz 定理：

若向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_q$ 可由向量组 $\beta_1,\ldots,\beta_p$ 线性表示，且 $q>p$ ，则 $\alpha_1,\ldots,\alpha_q$ 线性相关。

常用推论：

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_q$ 线性无关，且可由 $\beta_1,\ldots,\beta_p$ 线性表示，则 $q\le p$ 。
两个等价的线性无关向量组所含向量个数相同。
一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同。
等价向量组的秩相同。

4.11 矩阵的行秩、列秩与秩#

矩阵 $A$ 的列向量组的秩称为列秩。

矩阵 $A$ 的行向量组的秩称为行秩。

重要定理：

\text{行秩}=\text{列秩}.

因此统一称为矩阵 $A$ 的秩，记为

\operatorname{rank}A.

求秩方法：

初等行变换化为阶梯形。
非零行的个数就是秩。
也等于主元个数。
也等于主元列个数。

4.12 矩阵秩的性质#

基本范围：

0\le \operatorname{rank}A\le \min(m,n)

其中 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。

转置不变：

\operatorname{rank}(A^T)=\operatorname{rank}A.

初等变换不变：

A\sim B\Longrightarrow \operatorname{rank}A=\operatorname{rank}B.

若 $P,Q$ 可逆：

\operatorname{rank}(PAQ)=\operatorname{rank}A.

方阵可逆判别：

A\text{ 是 }n\text{ 阶方阵},\quad A\text{ 可逆} \Longleftrightarrow \operatorname{rank}A=n.

乘积秩：

\operatorname{rank}(AB)\le \min(\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B).

分块列矩阵：

\max(r(A),r(B))\le r([A\ B])\le r(A)+r(B).

加法秩不等式：

r(A+B)\le r(A)+r(B).

若 $A_{m\times n}B_{n\times p}=0$ ，则

r(A)+r(B)\le n.

4.13 用子式定义矩阵的秩#

$k$ 阶子式：从矩阵中任取 $k$ 行 $k$ 列，按原相对位置组成的 $k$ 阶行列式。

矩阵秩的等价定义：

\operatorname{rank}A=r

当且仅当：

$A$ 至少有一个 $r$ 阶子式不为 $0$ 。
$A$ 的所有 $r+1$ 阶子式全为 $0$ 。

即矩阵的秩等于非零子式的最高阶数。

用途：

判断含参数矩阵的秩。
证明某个矩阵满秩。
与行列式联系： $n$ 阶方阵满秩当且仅当 $|A|\ne0$ 。

4.14 向量空间与子空间#

$\mathbb R^n$ 中的向量集合 $V$ 若满足：

对加法封闭： $\alpha,\beta\in V\Rightarrow \alpha+\beta\in V$ 。
对数乘封闭： $\alpha\in V,k\in\mathbb R\Rightarrow k\alpha\in V$ 。

则 $V$ 是 $\mathbb R^n$ 的子空间。

子空间一定包含零向量。

常见子空间：

$\mathbb R^n$ 本身。
只含零向量的集合 $\{0\}$ 。
齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解集。
某向量组张成的集合 $\operatorname{span}(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$ 。
矩阵的列空间。
矩阵的行空间。

非子空间常见例子：

不过原点的直线或平面。
非齐次方程组 $Ax=b,b\ne0$ 的解集，一般不是子空间。

4.15 基与维数#

设 $V$ 是向量空间，若向量组

\alpha_1,\ldots,\alpha_r

满足：

线性无关。
$V$ 中任意向量都可由它们线性表示。

则称它们是 $V$ 的一组基。

基中向量个数称为 $V$ 的维数，记为 $\dim V$ 。

例：

e_1,e_2,\ldots,e_n

是 $\mathbb R^n$ 的自然基，所以

\dim\mathbb R^n=n.

若

V=\operatorname{span}(\alpha_1,\ldots,\alpha_s),

则

\dim V=\operatorname{rank}(\alpha_1,\ldots,\alpha_s).

矩阵空间相关结论：

列空间维数： $\dim C(A)=\operatorname{rank}A$ 。
行空间维数： $\dim R(A)=\operatorname{rank}A$ 。
零空间维数：若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则
$\dim N(A)=n-\operatorname{rank}A.$

4.16 坐标与过渡矩阵#

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 是向量空间 $V$ 的一组基，则 $V$ 中任意向量 $\xi$ 可唯一表示为

\xi=k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r.

称

\begin{bmatrix} k_1\\\vdots\\k_r \end{bmatrix}

为 $\xi$ 在基 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 下的坐标。

若两组基满足

[\beta_1,\ldots,\beta_r]=[\alpha_1,\ldots,\alpha_r]P,

则 $P$ 为从 $\alpha$ 基到 $\beta$ 基的过渡矩阵。 $P$ 一定可逆。

若同一向量在 $\alpha$ 基下坐标为 $x$ ，在 $\beta$ 基下坐标为 $y$ ，则

[\alpha]x=[\beta]y=[\alpha]Py.

因此

x=Py,\quad y=P^{-1}x.

4.17 用秩判断线性方程组解的存在唯一性#

对线性方程组

Ax=b,

其中 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。

存在性定理：

Ax=b\text{ 有解} \Longleftrightarrow \operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b].

进一步：

若 $\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[A\mid b]$ ，无解。
若 $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$ ，有唯一解。
若 $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$ ，有无穷多解。

齐次方程组 $Ax=0$ ：

若 $\operatorname{rank}A=n$ ，只有零解。
若 $\operatorname{rank}A<n$ ，有非零解。

4.18 齐次线性方程组解的结构#

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵， $r=\operatorname{rank}A$ 。

齐次线性方程组

Ax=0

的解集是一个子空间，称为零空间 $N(A)$ 。

其维数为

\dim N(A)=n-r.

基础解系：

若 $\xi_1,\ldots,\xi_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 解空间的一组基，则称它们为 $Ax=0$ 的基础解系。

通解：

x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r},

其中 $k_i$ 为任意常数。

求基础解系步骤：

化 $A$ 为行最简阶梯形。
找主元变量与自由变量。
每次令一个自由变量为 $1$ ，其余自由变量为 $0$ 。
解出主元变量。
得到 $n-r$ 个解向量，即基础解系。

4.19 非齐次线性方程组解的结构#

若

Ax=b

有解，设 $\eta$ 是它的一个特解， $\xi_1,\ldots,\xi_{n-r}$ 是对应齐次方程组

Ax=0

的基础解系，则 $Ax=b$ 的通解为

x=\eta+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}.

即：

\text{非齐次通解}=\text{一个特解}+\text{对应齐次通解}.

核心证明思路：

两个非齐次解之差是齐次解。
一个非齐次特解加任意齐次解仍是非齐次解。

几何理解：

齐次解集是过原点的子空间。
非齐次解集若非空，是齐次解空间平移后的集合。

期中常用判别表#

方阵可逆的等价条件#

对 $n$ 阶方阵 $A$ ：

条件	等价说法
可逆	存在 $A^{-1}$
行等价于单位矩阵	$A\to E$
行列式非零	$
满秩	$\operatorname{rank}A=n$
齐次方程只有零解	$Ax=0$ 只有 $x=0$
非齐次方程唯一解	对任意 $b$ ， $Ax=b$ 唯一
列向量组线性无关	$A$ 的 $n$ 个列向量无关
行向量组线性无关	$A$ 的 $n$ 个行向量无关
可表示为初等矩阵乘积	$A=E_1E_2\cdots E_s$

线性方程组解的情况#

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。

条件	结论
$r(A)<r([A\mid b])$	无解
$r(A)=r([A\mid b])=n$	唯一解
$r(A)=r([A\mid b])<n$	无穷多解
$Ax=0,\ r(A)=n$	只有零解
$Ax=0,\ r(A)<n$	有非零解
$m<n$ 的齐次方程组	一定有非零解

向量组线性相关性#

设 $A=[\alpha_1,\ldots,\alpha_s]$ 。

条件	结论
$Ax=0$ 只有零解	$\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性无关
$Ax=0$ 有非零解	$\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性相关
$r(A)=s$	列向量组线性无关
$r(A)<s$	列向量组线性相关
$s>n$ ，且向量在 $\mathbb R^n$ 中	必线性相关
含零向量	必线性相关

行列式与初等变换#

操作	行列式变化
交换两行	变号
某行乘 $k$	行列式乘 $k$
某行加另一行的 $k$ 倍	不变
提取某行公因子 $k$	行列式外乘 $k$
两行相同或成比例	行列式为 $0$
转置	不变

高频题型步骤#

题型 1：解线性方程组#

写增广矩阵 $[A\mid b]$ 。
初等行变换化为阶梯形或最简阶梯形。
若有矛盾行，判无解。
若无矛盾行，找主元变量和自由变量。
写出唯一解或含参数通解。

题型 2：判断矩阵可逆并求逆#

方法一：初等行变换。

[A\mid E]\to [E\mid A^{-1}].

方法二：行列式。

若 $|A|=0$ ，不可逆。
若 $|A|\ne0$ ，可逆。

方法三：秩。

若 $\operatorname{rank}A=n$ ，可逆。
若 $\operatorname{rank}A<n$ ，不可逆。

题型 3：计算行列式#

优先顺序：

先看是否三角形、分块三角、范德蒙德等特殊结构。
通过倍加变换造零。
选择零最多的一行或一列展开。
记录交换行和倍乘行对行列式的影响。
化成三角形后乘主对角线。

题型 4：判断向量能否由向量组表示#

判断 $\beta$ 是否可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 表示：

构造 $A=[\alpha_1,\ldots,\alpha_s]$ 。
解 $Ax=\beta$ 。
若有解，则能表示。
若无解，则不能表示。
若要求表示式，解出的 $x$ 就是组合系数。

题型 5：判断向量组线性相关性#

构造 $A=[\alpha_1,\ldots,\alpha_s]$ 。
解齐次方程 $Ax=0$ 。
只有零解则线性无关。
有非零解则线性相关。

等价方法：

若列向量个数大于维数，直接相关。
若 $A$ 是方阵，可用 $|A|\ne0$ 判断无关。
若 $r(A)=s$ ，无关；若 $r(A)<s$ ，相关。

题型 6：求向量组的秩和极大无关组#

把向量按列组成矩阵 $A$ 。
行化简为最简阶梯形。
找主元列。
原矩阵中对应主元列向量组成极大无关组。
主元列个数就是秩。
根据最简阶梯形中的列关系，写非主元列由主元列的线性表示。

题型 7：求基础解系#

对 $A$ 行化简。
找自由变量个数 $n-r(A)$ 。
每次令一个自由变量为 $1$ ，其余为 $0$ 。
解出主元变量。
得到 $n-r(A)$ 个解向量。
通解写成这些向量的线性组合。

题型 8：求非齐次方程组通解#

先判断 $r(A)=r([A\mid b])$ ，确认有解。
求一个特解 $\eta$ 。
求对应齐次方程 $Ax=0$ 的基础解系 $\xi_1,\ldots,\xi_{n-r}$ 。
写
$x=\eta+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}.$

题型 9：含参数问题#

常用工具：

行列式：方阵可先看 $|A|$ 是否为 $0$ 。
秩：当 $|A|=0$ 或矩阵不是方阵时，用 $r(A)$ 与 $r([A\mid b])$ 。
阶梯形：对含参数增广矩阵做行变换，按参数导致的主元是否为 $0$ 分类讨论。

通用思路：

先找会影响主元的参数因子。
参数不等于特殊值时，按一般情况处理。
参数等于特殊值时，代回矩阵重新化简。
分别判断无解、唯一解、无穷多解。

易错点汇总#

矩阵乘法一般不可交换，不能随意把 $AB$ 改成 $BA$ 。
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ，顺序要反。
$(AB)^T=B^TA^T$ ，顺序也要反。
$AB=0$ 不一定有 $A=0$ 或 $B=0$ 。
$A+B$ 的可逆性不能由 $A,B$ 的可逆性直接推出。
行列式只对方阵定义。
行列式做倍乘行时，行列式值会变；做倍加行时，行列式值不变。
克拉默法则只适用于方程个数等于未知量个数且系数行列式非零的情形。
非齐次方程组即使 $|A|=0$ ，也可能无解或无穷多解，不能只看行列式。
向量组线性无关要求齐次方程只有零解。
极大无关组不唯一，但秩唯一。
行变换不改变矩阵的秩，也不改变列向量组之间的线性关系，但会改变列向量本身。
求极大无关组时，主元列要回到原矩阵中取对应列。
非齐次解集一般不是子空间；齐次解集才是子空间。